Curve nello spazio

La modellazione viene realizzata soprattutto a partire da curve che costituiscono la struttura delle superfici e sono le generatrici dei solidi.

Comandi utilizzati

PLINEA, 3DPOLI, SPLINE, MOSTRAVC,
SCHIZZO, ELICA, EDITPL, EDITSPLINE, RACCORDODIFF,  ATTACCAIMM, ALLEGA,
SCALA Riferimento 

Disegnare curve, polilinee  e spline

Prima di trattare le curve, facciamo un richiamo di alcuni concetti di geometria:

• una curva è un insieme infinito di punti;
• una superficie è un insieme infinito di curve;
• una curva deve essere flessibile e controllabile con parametri di forma.

In geometria le funzioni che generano le curve sono molto varie e complesse: qui riportiamo solo le curve fornite da AutoCAD.

Curve e superfici nei sistemi CAD sono rappresentate in forma parametrica e sono dette anche curve e superfici a poli (o a punti di controllo). L'andamento della curva è determinato da parametri, cioè variabili, che ne controllano lo sviluppo grafico.

Le prime curve parametriche applicate alla computer grafica sono state le curve di Bézier contenute all’interno del poligono di controllo e passanti solo per il primo e l’ultimo punto. Il controllo della forma della curva di Bézier avviene mediante lo spostamento dei punti di controllo che costituiscono la poligonale e ne controllano il grado di flessibilità (figura 5.1). Il grado della curva è dato dal numero dei vertici -1 del poligono di controllo.

Le curve Spline sono delle curve d’interpolazione che permettono il controllo della forma attraverso la variazione di condizioni di tangenza, di curvatura e di passaggio nei punti di controllo assegnati. Per definire una curva Spline non è sufficiente definire i punti da cui deve passare ma è richiesta anche la definizione delle tangenti alla curva nei punti estremi. Muovendo un polo la variazione si propaga su tutta la Spline e questo rappresenta in alcune applicazioni un limite perché spesso  viene richiesto un controllo solo su una parte della Spline.

Questa limitazione è stata superata dalle B-spline  dove l'influenza di ogni punto di controllo è solo locale e non viene trasmesso a tutta la Spline. Le curve B-spline sono equivalenti a una serie di curve di Bézier unite fra di loro controllate dal grado dell'equazione parametrica, dal numero di archi consecutivi e dalla loro continuità nei punti di giunzione.

Figura 5.1 - Le curve di Bézier, Spline e B-spline con i punti di controllo del tracciamento.

Le curve NURBS (Non-Uniforma Rational B-Spline) sono B-spline in cui i polinomi possono anche essere razionali. Le NURBS sono una generalizzazione delle forme  B-spline e di Bézier e, a differenza delle B-spline, possono rappresentare esattamente le curve coniche e le superfici, ad esempio sfere e cilindri. La funzione SPLINE di AutoCAD utilizza il metodo di tracciamento delle NURBS.

 Polilinea 2D  [ PLINEA – PLINE]

Una polilinea 2D è una sequenza unica di segmenti formati da linee o archi  creati come singolo oggetto piano. Il vantaggio nell'utilizzo di una polilinea 2D rispetto ad una sequenza di linee o archi singoli consiste nel poter trattare un oggetto complesso come entità unica modificando i punti di passaggio e lo spessore della linea.

Per tracciare una polilinea formata da line e archi e con variazione di spessore come in figura 5.2 la sequenza di tracciamento è la seguente:

Comando:
PL (PLINEA)
Specificare punto iniziale: Punto 1 La larghezza corrente della linea è 0.0000
Specificare punto successivo o [Arco/Mezza-larghezza/LUnghezza/ANnulla/ LArghezza]: 
Punto 2
Specificare punto successivo o [Arco/Mezza-larghezza/LUnghezza/ANnulla/ LArghezza]: 
digitare  A per attivare Arco
Specificare punto successivo o [Arco/Mezza-larghezza/LUnghezza/ANnulla/ LArghezza]:
Punto 3 
Specificare punto successivo o [Arco/Mezza-larghezza/LUnghezza/ANnulla/ LArghezza]: 
Punto 4
Specificare punto successivo o [Arco/Mezza-larghezza/LUnghezza/ANnulla/ LArghezza]: 
digitare LA per attivare LArghezza
Specificare larghezza iniziale <0.0000>: Invio per confermare valore 0.0
Specificare larghezza finale <0.0000>: Digitare 0.3
Specificare punto successivo o [Arco/CHiudi/Mezza-larghezza/LUnghezza/ANnulla/LArghezza]: 
Punto 5
Specificare punto successivo o [Arco/CHiudi/Mezza-larghezza/LUnghezza/ANnulla/LArghezza]: 
LA per attivare LArghezza 
Specificare larghezza iniziale <0.3000>: Invio per confermare valore 0.3
Specificare larghezza finale <0.3000>: Digitare 0
Specificare punto successivo o [Arco/CHiudi/Mezza-larghezza/LUnghezza/ANnulla/LArghezza]: 
Punto 6

 

Figura 5.2 - Tracciamento di una polilinea con attivazione Arco dal punto 2 e con variazione di Larghezza nei punti 4, 5 e 6

Cliccando sulla polilinea si attivano una serie di grip, cioè dei quadratini blu, posizionati sui punti notevoli della geometria dell'oggetto. Cliccando su un grip è possibile spostare il punto mediante operazione di stiramento.

 

Figura 5.3 e 5.4 - Dopo aver selezionato la polilinea, se si clicca su un grip si attiva la funzione stira che viene ripetuta se si preme anche il tasto CTRL

NOTA. Se dopo aver selezionato un grip si preme la barra spazio, si attiva una serie di modifiche di tutto l'oggetto quali Sposta, Ruota, Scala. Inoltre se dopo aver selezionato un grip, si preme il tasto freccia giù  come in figura 5.4 si attiva il menu del cursore con le funzioni: Punto base, Copia, Annulla, Esci.

 Polilinea 3D  [ 3DPOLI  – 3DPOLY]

Una Polinea è un insieme unico di segmenti creati su un piano e composta da linee, segmenti e archi posizionati su un piano bidimensionale. Per superare questo limite è stata introdotta la funzione Polilinea 3D  che può essere tracciata non complanare cioè si può sviluppare liberamente nello spazio. A differenza però della Polinea 2D, non può includere segmenti di arco anche se mantiene la proprietà di essere un unico oggetto che è editabile con il comando EDITPL.

  Per tracciare una Polilinea 3D nello spazio è possibile ricorrere alla vista assonometrica e definire le coordinate Z dei punti di passaggio direttamente col mouse oppure utilizzando le coordinate polari come in figura 5.5.

L'esempio B della Figura 5.5 è stato tracciato specificando il valore Z dei singoli punti mediante il filtro di snap in coordinate .XY  (leggi Nota)

Figura 5.5 - Modi diversi di tracciamento di polilinee: la polilinea A è  2D  ed è tracciata su un piano mentre le polilinee B e C sono tracciate con il comando 3DPOLI nello spazio.

Come si può vedere, il limite della Polilinea 3D è l'impossibilità di usare gli archi nell'inserimento e la necessità di ricorrere alle coordinate cartesiane o polari per il tracciamento lungo l'asse Z.

NOTA: per tracciare una linea in verticale o individuare un punto perpendicolare ad un altro, si usa  il filtro di snap .XY: dopo aver inserito il primo punto, alla richiesta del secondo si digita .XY e si fa clic sul primo punto. Dopo Invio il sistema chiede [manca Z] e quindi si digita il valore lungo l'asse Z. La spirale B di figura 5.5 è stata tracciata a partire dalla sua proiezione a terra, costituita da una copia della spirale A, con il filtro .XY usato per ogni punto.    

 

   Le curve Spline  [ SPLINE  – SPLINE]

Nel mondo della progettazione industriale ed in particolare nel design, sono richieste funzioni di modellazione che ben difficilmente si possono eseguire con la modellazione per solidi come parallelepipedi, cilindri e sfere.  Tutti gli oggetti che ci circondano, a partire da automobili e prodotti industriali in genere, sono progettati a partire da curve che costituiscono la struttura portante delle superfici. In alcuni settori, come quello automobilistico, le belle forme sono un aspetto importante nella scelta di un modello o di un oggetto tanto che anche il marketing punta molto sulla qualità estetica dei prodotti insieme ovviamente alle caratteristiche tecniche.

D'altra parte il design italiano a partire dagli anni '60 in poi ha fatto della forma degli oggetti uno dei componenti più attrattivi per la qualità del design ed è stato alla base della sua reputazione internazionale.  

Le curve sono alla base delle superfici perché sono le strutture che le generano e le rendono attraenti: una bella superficie è generata da una bella curva.  In questo contesto il concetto di bello corrisponde a qualità tecniche misurabili, come curve e superfici armoniche in forme complesse che forniscono una elevata continuità di superfice e senza imperfezioni estetiche. AutoCAD fornisce delle funzioni che possono controllare la qualità delle superfici e dei solidi.

Una spline è una curva regolare che passa attraverso o in prossimità di un insieme di punti che influenzano la forma della curva.

In AutoCAD le Spline vengono tracciate come  una B-spline NURBS (Non Uniform Rational B-spline) e vengono definite tramite punti di adattamento detto anche vertici di controllo.

Figura 5.6 - Le Spline possono essere di due tipi: curve di interpolazione (Adatta) in blu e di approssimazione (VC) in rosso.

 

Il comando è il seguente:

Comando:_SPLINE
Impostazioni correnti: Metodo=Adatta   Nodi=Radice quadrata 
Specificare primo punto o [Metodo/Nodi/Oggetto]: M  per attivare Metodo 
Specificare metodo di creazione spline [Adatta/VC] <Adatta>: A  per attivare Adatta

 Le due opzioni possibili sono :

• Metodo: determina il tracciamento della spline mediante punti di interpolazione ( Adatta)  
• Vertici di controllo  (VC). In figura 5.6 sono  visualizzate le due tipologie. 

       

Metodo Adatta

Il metodo Adatta crea una B-spline di grado 3 (cubica). Le opzioni che si attivano con il metodo Adatta sono  Nodi e Oggetto.

• Nodi: specifica il comportamento in prossimità dei nodi come in figura 5.7 dove possiamo vedere il diverso andamento delle spline tracciate con le tre opzioni: corda, radice quadrata, uniforme. La differenza si nota quando i punti d'inserimento sono molto vicini fra di loro in particolare se si attiva la poligonale di controllo.
• Corda (in rosso):  spazia i nodi in modo proporzionale alla lunghezza della corda;
• Radice quadrata (in blu):spazia i nodi proporzionalmente alla radice quadrata della distanza; 
• Uniforme (in magenta): spazia i nodi di ogni curva in modo che siano tutti uguali.
• Oggetto: converte le polilinee in spline con le impostazioni correnti.

Figura 5.7 - Esempi di spline tracciate con tre opzioni diverse di Nodi: l'opzione  Radice quadrata produce una spline più morbida rispetto a Uniforme e Corda

Vertici di controllo (VC)

• Vertici di controllo (VC)  crea B-spline di grado 1 (lineari), grado 2 (quadratiche), grado 3 (cubiche) e con valori fino al grado 10.  Il risultato migliore dal punto di vista della forma finale di una Spline si ha con questa modalità VC;     
• Grado: determina l'elasticità della poligonale sulla spline come in figura 5.8 dove con il grado 1 (magenta) si traccia una spline lineare che coincide alla poligonale di controllo quindi con flessibilità zero mentre il valore 10 (verde), grado massimo in AutoCAD,  traccia una spline molto lontana dai vertici di controllo.

Figura 5.8 - Spline del tipo Vertici di controllo (VC) e quattro valori corrispondenti a gradi diversi. Il valore minimo è 1 mentre in AutoCAD il valore massimo è 10

NOTA. Per visualizzare o nascondere i vertici di controllo come in figura 5.6 e 5.7 si utilizza le variabili MOSTRAVC e NASCVC da digitare da tastiera e selezionando le spline per visualizzarne i vertici.

  Curve a mano libera [ SCHIZZO  – SKETCH]

Nel trattare le curve è utile fare un cenno alla funzione SCHIZZO che permette di tracciare con il mouse delle linee come se fossero tracciate con una normale penna.

Il tipo di oggetti grafici che si possono creare sono:

• linea
• polilinea
• spline

Le altre opzioni fornite sono:

• Incremento: definisce la lunghezza dei singoli segmenti di linea. Minore è il valore e maggiore sarà la precisione del tratto.
• Tolleranza: specifica la precisione del tratto. L'intervallo dei valori è fra 0 e 1

La sequenza del comando è la seguente:

Comando:  SCHIZZO

Tipo = Spline  Incremento = 1.0000 Tolleranza = 0.0000 
Specificare schizzo o [Tipo/Incremento/tOlleranza]: TOL  definire la tolleranza 
Specificare tolleranza di adattamento della spline <0.0000>: 1 
Specificare lo schizzo: tracciare lo schizzo

 In figura 5.9 sono rappresentate tre tipi di spline generate con valori diversi di Tolleranza e Incremento. Come si può verificare dal numero di grip attivati dalla selezione, con valori elevati di Incremento la spline diviene più levigata e con meno punti di controllo.

Figura 5.9 - Spline create con la funzione SCHIZZO con valori diversi di Tolleranza e Incremento. Si noti che aumentando la Tolleranza diminuiscono i punti di controllo della spline.

   Elica  [ ELICA  – HELIX]

Il comando ELICA traccia una curva con un percorso a elica usata in genere per creare le filettature e le scale circolari associato al comando di modellazione SWEEP.

La sequenza è la seguente come illustrato in figura 5.10:

Comando:  ELICA

Numero di spire = 3.00 Torsione=Antiorario 
Specificare centro della base: face clic  nel punto 1
Specificare raggio della base o [Diametro] <1.00>: digitare 5
Specificare raggio superiore o [Diametro] <5.00>: Invio per confermare 5 
Specificare altezza elica o [punto finale Asse/Spire/alteZza
spira/Torsione] <10>: 20

 In questo modo si è creata un'elica di raggio 5 sia alla base che nella parte superiore e con altezza 20 unità come illustrato in figura 5.10.

 

Figura 5.10 - Sequenza numerata di creazione di un'elica: dopo avere definito il centro (1) si specifica il raggio di 5 unità  (2) quindi si conferma il raggio superiore sempre di 5 unità (3) ed infine si digita l'altezza dell'elica di 20 unità (4).  

Il comando ELICA fornisce anche altre opzioni per definire la geometria che possono essere usate durante il tracciamento.

Rivediamo tutte le opzioni di creazione di un'elica:

• Centro della base: definisce il centro del cerchio di proiezione di base;
• Raggio base: richiede il raggio della base dell'elica richiamando fra parentesi l'ultimo valore immesso;
• Diametro: in alternativa è possibile specificare il Diametro con la digitazione della lettera D riportata in maiuscolo;
• Raggio superiore: richiede il raggio della parte superiore dell'elica considerato che i due raggi possono essere diversi. Il sistema riprende il valore del raggio della base quindi è possibile confermare con invio se i raggi da tracciare sono uguali;
• Specificare altezza elica:  digitare il valore da assegnare all'altezza;
• Punto finale dell'asse: in alternativa è possibile indicare un punto sul disegno che sarà quotato come lunghezza dell'asse della spirale;
• Spire: possiamo specificare anche il numero di spire della spirale considerate come numero di rivoluzioni attorno all'asse (max 500);
• Altezza spira: in alternativa al numero spire è possibile specificare la distanza fra le spire che corrisponde al passo dell'elica;
• Torsione: Specifica la direzione di torsione dell'elica che può essere:
• Orario. Disegna l'elica con una torsione in senso orario (clockwise).
• Antiorario. Disegna l'elica con una torsione in senso antiorario (counterclockwise).

NOTA. Ricordiamo che la direzione di tracciamento delle curve in AutoCAD ed in altri sistemi CAD è sempre in senso antiorario,  counterclockwise come viene definito in inglese, e questo determina la direzione positiva del tracciamento delle curve.

5.2 Modifica di curve e spline

Ogni curva può essere modificata intervenendo sui punti di controllo e sui parametri che ne controllano l'andamento.  Rettificare le curve comporta poter modificare anche le superfici che sono state prodotte dalle curve.  AutoCAD fornisce una serie di funzioni molto utili per la modifica delle curve e delle superfici.

 Modifica delle polilinee 2D e 3D [EDITPL – PEDIT]

Il comando EDITPL permette di modificare le polilinee 2D e 3D fornendo per ciascun tipo funzioni specifiche. 

Per una Polilinea 2D le principali opzioni disponibili sono le seguenti:

• Chiudi: aggiunge un segmento di chiusura della polilinea fra il primo punto e l'ultimo;
• Apri: rimuove il segmento di chiusura della polilinea;
• Unisci: permette di aggiungere linee, archi o polilinee ad una polilinea del disegno. Se si seleziona un oggetto che non è una polilinea, il sistema  chiede se si desidera trasformarlo in polilinea come in figura 5.11.  Per unire gli oggetti alla polilinea, è necessario che i punti finali di ogni parte abbia un punto di contatto con l'eccezione di usare l'opzione Multiplo alla prima richiesta del sistema con la quale si possono unire anche le polilinee che non si toccano.
• Larghezza: crea uno spessore a colore pieno per tutta la polilinea;
• Edita vertici: permette di modificare i vertici di una polilinea con le opzioni spezza, inserisci vertice e sposta. Viene inserito un indicatore a forma X sul primo vertice e con Seguente o Precedente si scorre il puntatore lungo tutta la polilinea fino a individuare il punto da modificare.

Figura 5.11 - Il comando EDITPL usato per modificare una polilinea: a destra in A l'oggetto selezionato non è una polilinea e pertanto viene chiesto di trasformarlo in polilinea mentre a sinistra in B viene presentato il menu delle opzioni disponibili fra le quali anche Edita vertici per modificare i p punti di passaggio.

La sequenza del comando EDITPL (in inglese PEDIT) è la seguente:

Comando: _pedit
Selezionare polilinea o [Multiplo]:
L'oggetto selezionato non è una polilinea
Si desidera trasformarlo in polilinea? <S>  invio per confermare
Digitare un'opzione [CHiudi/Unisci/Larghezza/Edita
vertici/ADatta/Spline/Rettifica/Tipolinea gen./Inverti/ANnulla]: digitare
U per Unisci
Selezionare oggetti: trovato(i) 1

 

In Figura 5.11 dopo che è stata selezionata la polilinea in B viene visualizzato il menu a cursore con le opzioni disponibili per la polilinea 2D selezionata.   In figura 5.12 sono visualizzati i menu  disponibili per le polilinee 2D e 3D: le modifiche per la polilinea 3D sono minori e riguardano la posizione della curva nello spazio.

Nota: qualunque sia la lingua utilizzata, in AutoCAD è possibile digitare il comando in inglese anticipato dal carattere _ (sottolineato) come si può vedere per il comando EDITPL. In questo caso si è fatto clic sull'icona della barra multifunzione che ha attivato il corrispondente comando in inglese _PEDIT poiché questa lingua è in genere associata alle icone.